Espectro de un anillo

Y ahora dime que estás rodeado. No puedes salir del paso sin describir las relaciones. Una relación es un movimiento operativo, sensorial, jugoso. Una pregunta. Si hay respuesta, entonces surge la suma, con sus tres propiedades. Si solo roza cartílagos, acrecentando toda duda, podemos decir que el conjunto que te rodea es un grupo abeliano. Cuando ambas cosas se conjugan en un mismo espacio podemos decir que un anillo gigante, un donuts de materia densa nos rodea. Y ahora pasamos a la magia. Hay unos elementos indiscernibles, que aparecen cuando no se ve nada. Lo llamamos espectro, y resulta que contiene todo lo que necesitamos saber sobre lo que nos rodea sin recurrir a metáforas ni otras cavilaciones.

El giro que supuso para las matemáticas del siglo veinte el considerar, no ya los espacios geométricos manipulables y visibles que tanto gustaban a los griegos, sino el conjunto de observaciones posibles que puede permitir tal objeto, es de una importancia todavía desconocida. Y resulta que, como decíamos, este conjunto de observaciones tiene una estructura especial, una estructura de anillo (conjunto con dos operaciones), del cual podemos recuperar el objeto geométrico en sí mediante un sencillo giro: basta con considerar el conjunto de ideales primos. Es decir, esos objetos que brillan con luz propia y que nuestra intuición nos permite unir y dar forma hasta ver el dibujo completo, y la estructura que subyace al mismo tiempo.

La forma de visualizar este espectro se hace muy sencilla en el anillo de los números enteros (sus dos operaciones son la suma y el producto usual). Seria algo parecido a esto:

Espectro

Donde cada punto negro simboliza un número primo (2, 3, 5, 7…) y el punto blanco simboliza el 0, presente en todo ideal primo. De esta forma, si consideramos anillos más complejos podemos recuperar todos aquellos objetos geométricos que se conocen.

El concepto de ideal primo, además, supuso entre otras cosas una definición de punto que engloba y trasciende lo que anteriormente se conocía como tal. Pero lo que a mí más me emociona es poder tratar a los objetos geométricos como entes independientes del espacio que les rodea, donde su geometría intrínseca por fin sirve para clasificarlos (todos los puntos, rectas, curvas, planos, superficies contenidos en cada objeto geométrico se corresponden con los ideales primos del anillo de observaciones).

Por fin, el planeta Tierra ya no depende del universo que le rodea, sino de toda la red de carreteras, áreas de servicio, paseos vespertinos de rumbo poco claro, meridianos, gajos de corteza terrestre, cabezas en tranquilidad hogareña, cabezas itinerantes, rollos de papel higiénico rodeando estatuas y mobiliario urbano, farolas que alumbran de 21:00 a 8:00… En fin, un sinfín de delicadezas que nosotros podemos pensar como ideales primos, sin necesidad de alzar la cabeza para mirar a las estrellas, sin necesidad, en fin, de más elucubraciones místicas.

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